Fractales y Autosemejanzas

axonometrica 0141 FRACTALES Y AUTOSEMEJANZAS

Fractales y Autosemejanzas

Paralelamente al desarrollo de la teoría del caos en diversas áreas, el matemático francés Benoît Mandelbrot desarrolló la llamada teoría fractal, que vendría a ser la herramienta matemática representativa de las estructuras caóticas, por ser capaz de representar fenómenos con dimensiones irregulares; en realidad podemos decir que los fractales son la geometría de un supuesto caos.

Mandelbrot es el principal responsable del auge de este dominio de las matemáticas desde el inicio de los años setenta, y del interés creciente del público. En efecto supo utilizar la herramienta que se estaba popularizando en ésta época, el ordenador, para trazar los más conocidos ejemplos de geometría fractal: el conjunto de Mandelbrot.

El origen de la fractalidad lo comenta él mismo en la entrevista que le hace Eduard Punset:

Yo empecé combinando dos ideas muy peligrosas: en primer lugar, de joven, me fascinaba totalmente la geometría, la forma de las cosas, en una época en la que las matemáticas se estaban volviendo muy abstractas y algebraicas. En segundo lugar, yo tenía una pasión, una obsesión con Kepler. ¿Y por qué Kepler? Kepler no fue un científico tan capital como Newton, pero Kepler fue el primero que logró algo extraordinario: partir de un juguete y obtener una herramienta. El juguete era la elipse, una forma matemática con la que habían jugado los griegos en la antigüedad sin ningún objetivo concreto. Pero ese juguete se convirtió en una herramienta para crear la ciencia de la astronomía, para explicar el movimiento de los planetas, y describirlo todo en términos matemáticos. Eso me fascinó desde el principio. En un primer momento, no hice nada sensacional sino que empecé con pequeñas cosas que me interesaban y, casi por arrastre, me vi abocado al estudio de la rugosidad. En realidad, la descripción completa de este objetivo no llegó hasta más tarde, cuando era bastante mayor.[1]

Se considera que uno de los primeros textos sobre la geometría fractal es de 1967 cuando publicó en la revista Science “How Long Is the Coast of Britain?”,[2] donde expone sus ideas tempranas sobre los fractales.

En el artículo, Mandelbrot, examina la paradoja de que la longitud de una línea costera depende de la escala de medida. La evidencia empírica sugiere que cuanto menor es el incremento de medida, la longitud medida se incrementa. Si se va a medir una costa con tramos de diez kilómetros el perímetro obtenido será menor que con tramos de un kilómetro.

La evidencia empírica sugiere una regla que, si se extrapola, muestra que la longitud se incrementa sin límite a medida que la longitud del tramo disminuye. Todo es una cuestión de geometría.

Lo que viene a poner en evidencia el artículo de Science es que en la geometría tradicional se simplifica la naturaleza describiendo sus formas como poseedoras de dimensiones enteras 1, 2 ó 3, por ejemplo. Sin embargo, a medida que se entra en el nivel micro, más lleno de detalles y por tanto, que exige más precisión, se verifica que la realidad de los objetos no tiene dimensiones regulares, sino por ejemplo, dimensiones 1,23 ó 2,58.

La propiedad más interesante de la fractalidad es la repetición de los patrones. Significa que, en un objeto fractal, las características se encuentran repetidas en diferentes escalas. Todas sus partes, en cualquier escala, son semejantes al conjunto en la forma. Esta autosemejanza geométrica recuerda los vórtices dentro de vórtices en el estudio de la turbulencia caótica de Lorenz.

Efectivamente, los fractales resultaron complementar la Teoría del Caos, logrando representar geométricamente los atractores extraños. Mejor dicho, los atractores extraños son ejemplos de fractales. Al ampliar fragmentos de la estructura de estos atractores, se descubre una subestructura de varios niveles en la que se repiten continuamente los mismos patrones.

Finalmente las ideas de Mandelbrot cristalizan en el libro Les Objets Fractal: Forme, Hasard et Dimension [3] publicado en 1975. Como el mismo Mandelbrot reconoce, el libro es producto de una conferencia que imparte en París:

Uno de los acontecimientos más importantes de mi vida sucedió en 1973, cuando me invitaron a dar una conferencia en el Collège de France, en París. Estaba sometido a una presión extraordinaria, porque solamente tenía una hora para explicar lo que había estado haciendo durante los veinte años que habían pasado desde que había abandonado Francia. Trabajé muy duro, y creo que no lo hice tan mal y luego escribí un libro sobre ello y necesitaba un título para el libro. Había hecho un trabajo que podía describir y explicar, pero no tenía título. Así que me puse a buscar una palabra bonita de raíz latina para designarlo y cogí un diccionario de latín de mi hijo que había en casa y me puse a buscar ‘fractura’, ‘fracción’, etcétera, y me percaté de que todas esas palabras proceden del adjetivo latino ‘fractus, fracta, fractum’ que hacían referencia a aquello en lo que se convierte una piedra al lanzarla: piezas irregulares. ¡Eureka! Ahí estaba el término que necesitaba. Además, es una palabra que funcionaba muy bien en francés y en inglés. Y así fue como el libro que carecía de título pasó a llamarse ‘Les objets fractals’.[4]

Uno de los casos más conocidos de fractalidad es la curva de Koch, una curva cerrada continua pero no diferenciable en ningún punto descrita por el matemático sueco Helge von Koch en 1904 en un artículo titulado Acerca de una curva continua que no posee tangentes y obtenida por los métodos de la geometría elemental.[5

Su construcción se realiza mediante un proceso iterativo que se inicia con un triángulo equilátero en el que finalmente cada uno de sus lados queda sustituido por lo que se llama una curva de Koch.

Si bien se da la paradoja de que un ejemplo sobre fractalidad aparece antes que su propia teoría, la curva de Koch ejemplifica perfectamente la idea de autosemejanza, donde cada parte del fractal repite la forma original, llamada homúnculo de manera que el resultado es igual al original y al mismo tiempo no es idéntico, por lo que esa condición de identidad es una tendencia.

El hecho de que la teoría de la fractalidad haya sido desarrollada a partir de los años 70 tiene directamente que ver con la herramienta de cálculo. La fractalidad requiere de un grandísimo número de iteraciones por lo que la aparición del ordenador condicionó directamente la aparición de la teoría. De hecho la base para que aparezca la fractalidad es la repetición n veces de un tramo de fractal, lo que hará aparecer los homúnculos originales y así hasta el infinito.

En definitiva, las características fundamentales de la fractalidad, de hecho de su lógica geométrica compleja son el mantener la identidad a través de lo distinto, el ser capaz de crear una estructura compleja a partir de una simple y finalmente lo que podríamos llamar geometría de la lucidez al permitirnos entender los aspectos regulares de lo irregular e igualmente los aspectos irregulares de lo regular.

A efectos prácticos la fractalidad, entendida según Mandelbrot como un número que sirve para cuantificar el grado de irregularidad y fragmentación de un conjunto geométrico o de un objeto natural [6]  permite acercarnos a la aparente estructura desordenada de la naturaleza con una nueva herramienta de comprensión, una nueva geometría que ayuda a explicar la razón ordenada de una naturaleza hasta ahora siempre salvajemente formalizada e incomprensible.

La imagen del post procede de http://vibromancia.com/ley-de-los-fractales-el-arte-del-mundo-en-accion/

 

[1] Entrevista realizada el 22 de Febrero del 2007 en la Universidad de Yale. La entrevista puede encontrarse entera en http://www.eduardpunset.es/425/charlas-con/no-todo-es-liso-en-la-vida

[2] MANDELBROT, Bênoit, “How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension”, Science, New Series, vol. 156, núm. 3775, 5 de Mayo, 1967, pp. 636-638.

[3] MANDELBROT, Bênoit, Les Objets Fractal: Forme, Hasard et Dimension, Flammarion, París, 1975.

[4] Op. Cit,. MANDELBROT, 2007.

[5] VON KOCK, Helge, “Sur une courbe continue sans tangente, obtenue par une construction géometrique élémentaire”, Arkiv för Matematik Astronomi och Fysik 1, Real Academia de las Ciencias Suecas, 1904, pp. 681-704.

[6] Op. Cit. MANDELBROT, 1975 p. 83.

Responder

Por favor, inicia sesión con uno de estos métodos para publicar tu comentario:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión / Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión / Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión / Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión / Cambiar )

Conectando a %s

A %d blogueros les gusta esto: